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Aula 169 — Formação de equações a partir das raízes

50 min
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Objetivo geral

Formar uma equação do segundo grau a partir de suas raízes conhecidas, usando a fórmula x2−Sx+P=0.

Objetivos específicos

  • Calcular a soma (S) e o produto (P) de duas raízes dadas.
  • Aplicar a fórmula x2−Sx+P=0 para formar a equação correspondente.
  • Verificar a equação formada, conferindo que as raízes originais realmente a satisfazem.
  • Reconhecer essa fórmula como a aplicação inversa das Relações de Girard.

Conhecimentos prévios

  • Relações de Girard, Módulo 9, Aula 168.
  • Multiplicação de polinômios (expansão de produto de binômios), Módulo 4, Aula 86.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula169_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra CAS, para conferir a equação formada expandindo o produto (x−raiz1)(x−raiz2), em computador ou celular.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: "se as raízes são 2 e 5, dá pra montar a equação só com esses dois números, sem mais informação?" Ouvir hipóteses.

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever "raízes 2 e 5: equação é x2+7x+10=0", com os sinais errados, no quadro e perguntar: essa equação está certa? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): inverter os sinais na fórmula x2−Sx+P=0, escrevendo x2+Sx+P=0 (esquecendo que o termo do meio usa −S, não +S) — o mesmo tipo de cuidado com sinal já visto na Aula 168.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: para formar uma equação a partir das raízes, calculamos S (soma) e P (produto) e aplicamos x2−Sx+P=0 — isso resolve o obstáculo do Momento 2: para raízes 2 e 5, S=7 e P=10, então a equação é x2−7x+10=0 (não x2+7x+10=0). Verificando: (x−2)(x−5)=x2−7x+10, confirmando a equação.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: formar coletivamente a equação cujas raízes são −1 e 4. Em duplas: formar a equação cujas raízes são 3 e −2, e verificar expandindo (x−3)(x+2).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: sim — basta calcular S e P das raízes e aplicar x2−Sx+P=0.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Forme a equação cujas raízes são 2 e 5.

Gabarito: S=7, P=10. Equação: x2−7x+10=0.

2. Forme a equação cujas raízes são −1 e 4.

Gabarito: S=3, P=−4. Equação: x2−3x−4=0.

3. Forme a equação cujas raízes são 3 e −2.

Gabarito: S=1, P=−6. Equação: x2−x−6=0.

4. Encontre o erro: "raízes 2 e 5: equação é x2+7x+10=0".

Gabarito: O termo do meio usa −S, não +S. A equação correta é x2−7x+10=0.

5. Forme a equação cujas raízes são iguais a 3 (raiz dupla).

Gabarito: S=6, P=9. Equação: x2−6x+9=0.

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