Aula 171 — Estudo do sinal da função quadrática
50 minObjetivo geral
Estudar o sinal de uma função quadrática usando seu gráfico (parábola), relacionando concavidade e raízes com os intervalos de positividade e negatividade.
Objetivos específicos
- Esboçar o gráfico de uma função quadrática a partir do sinal de a e das raízes.
- Identificar, no gráfico, os intervalos em que a função é positiva, negativa ou zero.
- Relacionar o número de raízes (via Δ) com o número de vezes que a parábola cruza o eixo x.
- Usar o gráfico como ferramenta visual alternativa ao quadro de sinais algébrico.
Conhecimentos prévios
- Inequações do segundo grau, Módulo 9, Aula 170.
- Discriminante e natureza das raízes, Módulo 9, Aula 167.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula171_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator, para plotar funções quadráticas e visualizar o sinal em cada intervalo, em computador ou celular.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "se uma parábola não cruza o eixo x (Δ<0), a função tem algum trecho negativo?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "toda parábola tem uma parte positiva e uma parte negativa, sempre" no quadro e perguntar: isso vale mesmo quando Δ<0? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): assumir que toda função quadrática necessariamente muda de sinal em algum ponto, sem considerar o caso Δ<0, em que a parábola NUNCA cruza o eixo x e o sinal é CONSTANTE (sempre positivo se a>0, sempre negativo se a<0) para todo x real.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o gráfico da função quadrática (parábola) mostra visualmente o sinal — se Δ>0, a parábola cruza o eixo x em dois pontos (as raízes), dividindo o gráfico em três regiões de sinal; se Δ=0, toca o eixo em um único ponto (raiz dupla), sendo positiva (ou negativa) em todo o resto; se Δ<0, NUNCA cruza o eixo, sendo sempre positiva (se a>0) ou sempre negativa (se a<0) — isso resolve o obstáculo do Momento 2: com Δ<0, não existe mudança de sinal alguma.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: esboçar coletivamente o gráfico de x2-5x+6 (Δ>0, duas raízes), identificando os intervalos de sinal. Em duplas: esboçar o gráfico de x2+x+1 (Δ<0) e concluir que é sempre positiva.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — com Δ<0, a função é sempre do mesmo sinal (positiva se a>0), nunca muda.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quantas vezes a parábola de x2-5x+6 cruza o eixo x?
Gabarito: Duas vezes, pois Δ=1>0 (duas raízes distintas: 2 e 3).
2. A função x2+x+1 (Δ<0) é positiva, negativa, ou muda de sinal?
Gabarito: É sempre positiva (a=1>0 e nunca cruza o eixo x).
3. A função −x2-x-1 (mesmo Δ<0, mas a<0) é positiva, negativa, ou muda de sinal?
Gabarito: É sempre negativa (a=−1<0 e nunca cruza o eixo x).
4. Encontre o erro: "toda parábola tem uma parte positiva e uma parte negativa, sempre".
Gabarito: Quando Δ<0, a parábola nunca cruza o eixo x, então o sinal é constante em toda a reta real — não há mudança de sinal.
5. Quantas vezes a parábola de x2-4x+4 cruza o eixo x?
Gabarito: Uma vez (tangencia o eixo), pois Δ=0 (raiz dupla em x=2).