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Aula 172 — Equações biquadradas

50 min
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Objetivo geral

Resolver equações biquadradas (ax4+bx2+c=0), usando a substituição y=x2 para reduzi-las a uma equação do segundo grau em y.

Objetivos específicos

  • Reconhecer uma equação biquadrada pela ausência de termos de grau ímpar (x3, x).
  • Aplicar a substituição y=x2 para transformar a equação biquadrada numa equação do segundo grau em y.
  • Resolver a equação em y e, para cada valor positivo de y, encontrar os dois valores correspondentes de x (±√y).
  • Reconhecer que um valor negativo de y não gera nenhuma solução real em x.

Conhecimentos prévios

  • Fórmula de Bhaskara, Módulo 9, Aula 166.
  • Raiz quadrada e radicais, Módulo 4.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula172_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Calculadora, para conferir os valores de x=±√y.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: "depois de achar os valores de y numa equação biquadrada, o problema já está resolvido?" Ouvir hipóteses.

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever "resolvendo x4-5x2+4=0 com y=x2, achamos y=4 e y=1, e essas já são as respostas finais" no quadro e perguntar: y=4 e y=1 são os valores de x, ou ainda falta um passo? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): parar na resolução da equação EM Y, esquecendo de voltar para X — como y=x2, é preciso extrair a raiz quadrada de cada valor de y (com o sinal ±) para encontrar os valores reais de x.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: numa equação biquadrada ax4+bx2+c=0, substituímos y=x2, resolvemos ay2+by+c=0 (uma equação comum do segundo grau em y), e DEPOIS voltamos para x calculando x=±√y para cada valor POSITIVO de y — isso resolve o obstáculo do Momento 2: para x4-5x2+4=0, y=4 dá x=±2, e y=1 dá x=±1, totalizando QUATRO raízes reais (±1, ±2), não só os dois valores de y.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: resolver coletivamente x4-10x2+9=0 (substituindo y=x2, achando y=9 e y=1, depois x=±3 e x=±1). Em duplas: resolver x4-5x2-36=0, com atenção a um valor de y que pode dar negativo.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: falta um passo — depois de achar y, ainda é preciso voltar para x calculando ±√y.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Resolva x4-5x2+4=0.

Gabarito: y=x2: y2-5y+4=0 → y=4 ou y=1. x=±2 ou x=±1 (quatro raízes).

2. Resolva x4-10x2+9=0.

Gabarito: y2-10y+9=0 → y=9 ou y=1. x=±3 ou x=±1.

3. Resolva x4-5x2-36=0.

Gabarito: y2-5y-36=0 → y=9 ou y=−4. Só y=9 é válido (y=x2≥0): x=±3.

4. Encontre o erro: "resolvendo x4-5x2+4=0 com y=x2, achamos y=4 e y=1, e essas já são as respostas finais".

Gabarito: Falta voltar para x: y=4 dá x=±2, y=1 dá x=±1. As respostas finais são x=±1 e x=±2, não y=4 e y=1.

5. Por que um valor negativo de y não gera solução real em x?

Gabarito: Porque y=x2, e o quadrado de um número real nunca é negativo — não existe x real tal que x2=y<0.

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